Page 13 - 《社会》2017年第2期
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社会· ２０１７ · ２
变量。即对于集合 Γ 中的一个节点犪 （ 犪∈Γ ），它的邻域变量集合用
成为 Γ＼ ｛ 犪 ｝的一个最小子集，使
犡 狀犲 表示，邻域选择的目标是让 犡 狀犲
犪 犪
， 条件独立于所有其他变量，进而邻域选择可以被转化
得给定 犡 狀犲 犡 犪
犪
为标准的回归问题并求解。
但在数学求解上，一般不直接计算协方差矩阵，而是估计其逆协方
差矩阵。这是因为逆协方差矩阵具有独特的性质。假设存在一个从多
元正态分布中独立抽取的 狀 个样本，其协方差矩阵为 ∑ ，则表征样本
变量之间条件依赖关系的高斯图模型可由逆协方差矩阵 Θ＝∑ －１ 来表
示。首先，逆协方差矩阵 Θ 与协方差矩阵 ∑ 具有对偶性，由于协方差
矩阵为正定矩阵，那么逆协方差矩阵也为正定矩阵，因此它们互为对偶
范数（ 犱狌犪犾狀狅狉犿 ）。其 次，逆 协方 差矩 阵 具 有 稀 疏 的 特 质 （ 犕犪狉犱犻犪 ， 犲狋
犪犾． ， １９８０ ； 犔犪狌狉犻狋狕犲狀 ， １９９６ ），也就是说，当且仅当 ∑ 犻 犼 ＝０ 时，变量 犻 与
－１
变量 条件独立；反之，变量 犻 与变量 犼 存在条件依赖关系。逆协方差
犼
矩阵在 图 模 型 中 又 称 “精 度 矩 阵”（ 狉犲犮犻狊犻狅狀 犿犪狋狉犻狓 ）或 “聚 集 矩 阵”
狆
（ 犮狅狀犮犲狀狋狉犪狋犻狅狀犿犪狋狉犻狓 ）。逆协方差矩阵与协方差矩阵示例如下：
２ １ ０ ０ ０
熿 燄
１ ２ １ ０ ０
１
∑ ＝ ０ １ ２ １ ０
０ ０ １ ２ １
燀 ０ ０ ０ １ ２ 燅
０．８３ ０．６７ ０．５０ ０．３３ ０．１７
熿 燄
０．６７ １．３３ １．００ ０．６７ ０．３３
∑ ＝ ０．５０ １．００ １．５０ １．００ ０．５０
０．３３ ０．６７ １．００ １．３３ ０．６７
燀 ０．１７ ０．３３ ０．５０ ０．６７ ０．８３ 燅
Θ 矩阵与偏相关系数有如下关系：
ω 犻 犼
ρ 犻 犼 狘 （ 犻 ， 犼 ） ＝－
槡
ω 犻犻 ω 犼犼
就社会关系网络测量而言，当该偏相关系数矩阵的元素大于 ０ ，表
示所对应的两个网络节点之间存在联带关系，且该数值可表示联带关
系的强弱；反之则不存在联带关系。因此，对观测数据 犡 进行计算的
步骤为：先估计其样本逆协方差矩阵，再转换为偏相关系数矩阵就可得
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